Tässä työssä oletetaan tilanne erityisesti seuraavanlaiseksi. On
olemassa tietty kohde, johon liittyy pelaajien ratkaisuista riippuva
funktio, ns. päätösfunktio. Ensimmäinen pelaaja P1 yrittää saada
päätösfunktion arvon mahdollisimman suureksi, pelaaja P2 taas
mahdollisimman pieneksi. Oletetaan edelleen, että P1 joutuu
tekemään siirtonsa ensin ja että pelaajalla P2 on ratkaisua
tehdessään pelaajan P1 siirto tiedossaan.
Käytetään päätösfunktiosta merkintää F(x_,y_), missä x_ =
(x1,x2,...,xn) ja y_ = (y1,y2,...,yn) ovat pelaajien P1 ja P2 valitsemia
menettelytapoja eli strategioita. Kummankin pelaajan strategia
koostuu siis n:stä eri komponentista. Valitsemalla nämä eri
komponentit sopivaan keskinäiseen suhteeseen pelaajat pyrkivät
parhaaseen mahdolliseen tulokseen. Strategioiden komponentit
voivat olla sotilaallisissa sovellutuksissa esim. eri asetyyppejä,
kohteita puolustavien tai kohteeseen hyökkäävien joukkojen
miesvahvuuksia; yrityksen tuotantoprosessissa ne voivat olla
esim. valmistettavia tavaramääriä. Päätösfunktio voi edellä
mainituissa tapauksissa kuvata kohteelle aiheutuvaa vahinkoa
tai tuotantoprosessin tuottamaa hyötyä.
Päätösfunktiosta F(x_,y_) oletetaan, että se on ainakin jatkuva.
Usein oletetaan myös derivaattojen olemassaolo. Strategiat x_ ja
y_ oletetaan n-ulotteisen euklidisen avaruuden Rn
reaaliarvoisiksi vektoreiksi. Useimmiten pelaajat joutuvat
valitsemaan strategiansa tietystä rajoitetusta joukosta, sillä
käytettävissä olevat miesvahvuudet, taloudelliset seikat ym.
asettavat rajoituksia tehtävälle valinnalle.
Kun pelaaja P1, joka haluaa maksimoida päätösfunktion F(x_,y_)
arvon, valitsee hänelle mahdollisista strategioista tietyn strategian
x_, on hänen varauduttava siihen, että P2 saa tietoonsa tämän
valinnan ja toimii sen mukaan, ts. valitsee hänelle avoinna
olevista strategioista sen strategian y_, jolla saavutetaan
min_y_F(x_,y_). Tuloksena on P1:n valinnasta x_ riippuva
funktio
(1) f(x_) = min_y_F(x_,y_).
Pelaajan P1 on siis alussa valittava x_ siten, että f(x_) saavuttaa
suurimman mahdollisen arvonsa. Hän siis valitsee sellaisen
strategian x_, jolla
(2) max_x_f(x_) = max_x_min_y_F(x_,y_)
saavutetaan. Tehtävänä on siis etsiä yhtälön (2) oikean puolen
ilmoittama funktion arvo ja ne strategiat x_ ja y_, jotka tähän
johtavat. Tästä tilanteesta on koko esitys saanut nimensä.
Jos funktio F(x_,y_) on luonteeltaan sellainen, että
(3) max_x_min_y_F(x_,y_) = min_y_max_x_F(x_,y_),
eli että pelaajien P1 ja P2 siirtojärjestys ei vaikuta lopputulokseen,
on kyseessä tavallinen peliteoreettinen tehtävä, jolla on
puhdasstrategia -ratkaisu. Jos kuitenkin on
(4) max_x_min_y_F(x_,y_) < min_y_max_x_F(x_,y_),
jolloin lopputulos riippuu ratkaisevasti pelaajien
siirtojärjestyksestä, eivät tavallisen peliteorian avulla saadut
ratkaisut päde. Nämä ratkaisuthan ovat sekastrategiaratkaisuja.
Tällainen menettely ei nyt kuitenkaan tule kysymykseen, sillä P1
tietää P2:n seuraavan, minkä valinnan hän tekee. Pelaajalla P2 on
siis valintaa tehdessään P1:n siirto x_ tiedossaan ja hänen
tarvitsee vain valita y_ siten, että (1) toteutuu. Tutkimuksessa
esitetään joukko lemmoja ja lauseita, joiden perusteella on
monessa tapauksessa mahdollista ratkaista tyyppiä (4) oleva
tehtävä. Kehitettyä koneistoa sovelletaan kahden sotilaallisen
taustan omaavan esimerkkiongelman ratkaisemiseen.
(Pro gradu -tutkielma, Turun Yliopisto, 1968, 46 s.)